Родился в Москве. Отец, Арамаис Михайлович, журналист, репрессирован в 1938, за несколько месяцев до рождения сына. Умер в ГУЛАГе. Мать, Серафима Теодоровна, детский врач, в последние годы работы заведовала консультативной поликлиникой Морозовской больницы.

В художественное заведение поступил в 1954. Сначала в МХПУ им. Калинина, а через год перешел в МХУ памяти 1905 года, которое закончил в 1960. Параллельно посещал занятия по сценографии в ГИТИСе. Это были годы бурного и всестороннего (поэзия, музыка, театр) увлечения авангардом, и не только русским.

После окончания училища некоторое время работал в реставрационных мастерских, давал уроки рисунка и живописи, английского языка.

Над своими вещами работал дома. Это время небольших по формату работ, они были представлены на персональной выставке в институте физических проблем в 1965 (серия «Мастер и Маргарита», «Трубачи, входящие в город» и другие).

С 1968 по 1975 занимал должность редактора одного из отделов журнала «Декоративное искусство СССР».

В 1973 состоялась персональная выставка Есаяна в художественном салоне (на Сиреневом бульваре). Здесь были показаны холсты «Вавилонская башня», «Предместье», «Красавица перед зеркалом», «Еврейская свадьба» (масло на дереве) и другие.

С начала 1970-х художник работал в мастерской в Печатниковом переулке. Там были созданы серии рисунков, холстов и скульптур на темы: «Блудный сын», «Концерт», «В мастерской», «Пляж», «Фигуры в пейзаже», «Трубачи», «Апостолы», «Матрос и блядь», «Повешенные».

В 1978 художник подал документы на выезд из СССР, уволился из редакции и одновременно потерял помещение в Печатниковом переулке; до самого отъезда из страны он работал над сериями картонов «Одеяла», «Выходящий», серией натюрмортов «Рыбы», серией ассамбляжей «Выходящий» в мастерской, дружески предоставленной ему И. Петровым.

В январе 1979 Есаян эмигрировал из СССР и поселился в Вене, где продолжил прерванную работу. Созданные за этот период серии «Ширмы», «Спины», «Несение креста» были показаны на персональной выставке в мае 1979.

С 1980 художник жил и работал в Париже. Серии «Пейзажей» и «Трапез», написанные в мастерской на Монпарнасе, были выставлены в галерее Art et Decoration. В том же году художник участвовал в бьеннале графических работ в Touquet (где получил золотую медаль), экспонировал свои работы на выставках галереи Le Point Galerie d’Art Moderne в Монте-Карло и галереи ACAP (в Touquet).

По заказу шведского театра «Шаразад» в 1982 художник выполнил декорации и костюмы к спектаклям «Доктор Дапертутто» и «Синдром Робинзона» (пьеса Ал. Хвостенко). Позднее, во второй половине 1980-х были сделаны декорации и костюмы к оперетте «Клетка девственниц» в Карлстадте (Швеция), к опере-балету «Балаганчик» (Королевская опера в Стокгольме), к опере Ганса Вернера Хейнца «Английские кошки».

Одновременно с театральными работами в мастерской создавались серии работ «Ныряльщики», «Купальщики».

В Бадене прошла персональная выставка художника «В ожидании Шарлотты Корде»; в 1988 вышла одноименная книга.

На выставке в Кёльне экспонировал серию «Похищение Европы».

В 1991 художник получил мастерскую в «городке художников» на Buttes-Chaumont. В ней созданы серии «Сидящие» (выставка в Страсбурге, 1991), «Путешествия» (выставка в Мелузе, 1993), «Бегущие», «Марафон», «Головы» — живопись и скульптура.

В 2000 в галерее де Бюси (Париж) прошла выставка «Головы».

В 2002 ретроспективная выставка Сергея Есаяна прошла в Государственном Русском музее; экспонировались серии «Интерьеры», «С добрым утром», «Камеры», а также рельефы «Городские стены».

В 2003–2005 художник работал над «домом» и «видами» — концептуальным проектом, вошедшим в книгу «Четыре проекта», изданную в 2006.

Последние произведения Есаяна — вещи из серий «Окна» и «Ромбы» — были выполнены в 2006.